Résolutions d'inéquations - Exemples

On résout les inéquations suivantes sur $\mathbb{R}$ .

1.  ${\text{e}}^x<{\text{e}}^9$  
Les solutions de l'inéquation  ${\text{e}}^x<{\text{e}}^9$  sont les réels $x$  tels que  $x<9$ .
L'intervalle solution est $S=]-\mathrm{\infty };9[$ .

2.  ${\text{e}}^x-\text{e}⩾0$  
On a  ${\text{e}}^x-{\text{e}}^1⩾0\iff {\text{e}}^x⩾{\text{e}}^1\iff x⩾1$ .
L'intervalle solution est $S=[1;+\mathrm{\infty }[$ . 

3.  $({\text{e}}^x-{\text{e}}^{-2})({\text{e}}^{12}-{\text{e}}^x)⩽0$
On s'intéresse aux signes des deux facteurs : 
$({\text{e}}^x-{\text{e}}^{-2})⩾0\iff {\text{e}}^x⩾{\text{e}}^{-2}\iff x⩾-2$  
${\text{e}}^{12}-{\text{e}}^x⩾0\iff {\text{e}}^{12}⩾{\text{e}}^x\iff 12⩾x$
Pour obtenir un produit négatif, il faut que les deux facteurs soient de signes contraires sur le même intervalle.
La solution est la réunion de deux intervalles $S=]-\mathrm{\infty };-2]\cup [12;+\mathrm{\infty }[$ .

4   .  $({\text{e}}^x{)}^2-{\text{e}}^x\times {\text{e}}^6>0$
On peut factoriser l'inéquation :  $({\text{e}}^x{)}^2-{\text{e}}^x\times {\text{e}}^6>0\iff {\text{e}}^x({\text{e}}^x-{\text{e}}^6)>0$ .
La fonction exponentielle n'étant jamais négative, le signe de l'inéquation dépend du facteur entre parenthèses. Comme  ${\text{e}}^x-{\text{e}}^6>0\iff {\text{e}}^x>{\text{e}}^6\iff x>6$ .
L'intervalle solution est $S=]6;+\mathrm{\infty }[$ .

5  .  ${\text{e}}^{8x+2}⩾{\text{e}}^{4x-2}$
On a  ${\text{e}}^{8x+2}⩾{\text{e}}^{4x-2}\iff 8x+2⩾4x-2\iff 4x⩾-4\iff x⩾-1$
L'intervalle solution est $S=[-1;+\mathrm{\infty }[$ .

6  .  ${\text{e}}^{x^2}-{\text{e}}^{2x-1}<0$
On a 
$$\begin{gathered} {\text{e}}^{x^2}-{\text{e}}^{2x-1}<0\iff {\text{e}}^{x^2}<{\text{e}}^{2x-1}\iff x^2<2x-1 \\ \iff x^2-2x+1<0\iff (x-1{)}^2<0 \end{gathered}$$
L'inéquation n'admet pas de solutions réelles, car le réel $(x-1{)}^2$  étant un carré, il est positif ou nul.